Matthieu ASTORG

Présentations

Domaines errants en dimension supérieure (ici une version en anglais)
Soutenance de thèse



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Ensembles de Julia


En dynamique complexe, on découpe l'espace dynamique en deux parties disjointes: l'ensemble de Julia et son complémentaire, l'ensemble de Fatou. La partie chaotique de la dynamique a lieu dans l'ensemble de Julia, et la partie stable dans l'ensemble de Fatou. L'ensemble de Julia est souvent une fractale compliquée. En voici un petit échantillon:

Dendrite Cantor Feigenbaum


Ces trois ensembles de Julia correspondent respectivement aux paramètres c=0.4+0.8 i, c=i et c=-1.41... (constante de Feigenbaum) dans la famille des polynômes quadratiques z^2+c. Le premier est une dendrite, le deuxième est un ensemble de Cantor. Voici maintenant d'autres exemples d'ensembles de Julia de fractions rationnelles :

un tapis de Sierpinski Cantor de courbes Julia


Il s'agit respectivement des ensembles de Julia de z^2 - 0.01/z^2, z^5+0.01/z^2 et z^5+0.1/z^2. Le premier est un tapis de Sierpinski, le deuxième est un ensemble de Cantor de courbes simples concentriques.

On peut également considérer des ensembles de Julia de fonctions holomorphes non rationnelles, comme exp, sin, tan, etc. Voici un exemple d'ensemble de Julia de fonction holomorphe sur le plan privé de l'origine, ayant un anneau de Herman. Son ensemble de Julia est la partie jaune et mauve; il s'agit d'un bouquet de Cantor.

Herman



Voici un autre exemple dans la même famille, avec des images différentes.

Herman



Ensemble de Mandelbrot


Mandelbrot
L'ensemble de Mandelbrot


L'ensemble de Mandelbrot représente les différents comportements dynamiques de la famille quadratique f(z)=z^2+c. Chaque point de l'image précédente correspond à un paramètre c. En nuances de bleu sont les valeurs pour lesquelles l'ensemble de Julia n'est pas connexe (i.e. n'est pas "en un seul morceau"). Les nuances de mauve correspondent à la distance à l'union du bord de l'ensemble de Mandelbrot et des centres des composantes (en fonction de la densité de leurs métriques hyperboliques).

Cusp


Un zoom près du cusp en c=0.25. L'ensemble de Mandelbrot est lui-même fractal, et il contient une infinité de copies de lui-même, qui sont denses dans lui-même.



Un tour dans la cardioide principale : à droite, le point vert décrit une boucle (plus précisément, une géodésique fermée) et à gauche, on peut voir l'ensemble de Julia correspondant. Noter qu'ils sont tous homéomorphes à une courbe de Jordan, et qu'ils varient continument (en fait, holomorphiquement) en fonction du paramètre c.



Même principe, mais en se déplaçant dans une composante hyperbolique de période 2. Encore une fois, noter que les ensembles de Julia sont tous homéomorphes et bougent continument.

Tranches d'un domaine errant en dimension 2



Wandering domain Wandering domain Wandering domain Wandering domain Wandering domain Wandering domain

Explication rapide : Ces images sont des tranches par des droites complexes w=constante de l'espace dynamique du polynôme fibré P(z,w)=(z+z^2+0.95 z^3 + pi^2/4 w, w-w^2). Cette application a un domaine errant (voir cet article). La partie bleue et rouge est l'ensemble de Julia rempli, c'est-à-dire l'ensemble des points dont l'orbite reste bornée. Chaque tranche est l'image de la tranche précédente. Certaines composantes du domaine errant ont été représentées en rouge (les autres en bleu).
Voici une autre illustration en vidéo (même principe, mais avec un plus grand nombre de frames). Chaque tranche a un temps d'apparition égal; notez que les composantes marquées (en rouge) passent beaucoup de temps près de l'origine pendant un passage dans le batteur à oeufs:







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