Université d'Orléans

Master 2 de Mathématiques, 2025-26

Processus aléatoires et applications

Les lundis et mercredis à partir du 15/9, 13h30-15h30

Polycopié

Première partie: Chaînes de Markov à espace dénombrable

1. Exemples de chaînes de Markov

• 1.1. Textes aléatoires
• 1.2. Modèle d'urnes d'Ehrenfest
• 1.3. Marches aléatoires
• 1.4. Modèle d'Ising

2. Rappels sur les chaînes de Markov

• 2.1. Définitions, notations
• 2.2. Chaînes de Markov irréductibles
• 2.3. Récurrence, probabilité invariante
• 2.4. Apériodicité, convergence vers la probabilité invariante

3. Théorie spectrale et vitesse de convergence

• 3.1. Quelques exemples simples
• 3.2. Normes de vecteurs et de matrices
• 3.3. Théorème de Perron-Frobenius et trou spectral
• 3.4. Diagonalisation et décomposition de Dunford
• 3.5. Cas réversibe

4. Fonctions de Lyapounov et vitesse de convergence

• 4.1. Notations – formalisme des générateurs
• 4.2. Fonctions de Lyapounov
• 4.3. Normes à poids
• 4.4. Un critère de convergence

5. Algorithmes MCMC

• 5.1. Méthodes Monte Carlo
• 5.2. Méthodes Monte Carlo par chaînes de Markov
• 5.3. Algorithmes de type Metropolis
• 5.4. Modèle d'Ising sur le cercle discret

Deuxième partie: Chaînes de Markov à espace continu

6. Exemples et notations

• 6.1. Définitions et notations
• 6.2. Exemples

7. Probabilités invariantes et vitesse de convergence

• 7.1. Irréductibilité et récurrence de Harris
• 7.2. Vitesse de convergence

Travaux dirigés

• Série 1. Révision chaînes de Markov
• Série 2. Trou spectral, fonctions de Lyapounov
• Série 3. Chaînes de Markov à espace continu

Travaux pratiques

• TP 1. Le modèle d'Ehrenfest
• TP 2. Le modèle d'Ising en dimension 1

Ancienne page du cours

Annales d'examens (ancien programme)

• Examen du 18 décembre 2024
• Examen du 18 décembre 2023
• Examen du 12 décembre 2022
• Examen du 15 décembre 2021
• Examen du 16 décembre 2020
• Examen du 16 décembre 2019
• Examen du 17 décembre 2018
• Examen du 18 décembre 2017
• Examen du 12 décembre 2016
• Examen du 14 décembre 2015
• Examen du 15 décembre 2014
• Examen du 18 décembre 2013
• Examen du 17 décembre 2012
• Examen du 19 décembre 2011
• Examen du 15 décembre 2010
• Examen du 14 décembre 2009
• Examen du 8 décembre 2008
• Examen du 17 décembre 2007

Liens en relation avec le cours

• Historique et tutoriel sur l'algorithme de Metropolis
  

• Simulations de recuit simulé (applet java)
• Article de popularisation sur les algorithmes MCMC
• Article de popularisation sur le modèle d'Ehrenfest
• Article de popularisation parlant des nombres de Catalan

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