next up previous contents
Next: Probabilités conditionnelles, indépendance Up: Probabilités discrètes Previous: Probabilités discrètes   Contents


Espace probabilisé discret

Un espace probabilisé discret est caractérisé par trois ingrédients:
\begin{enum} \item Un \defwd{univers}\/ $\Omega$: c'est l'ensemble des \defwd{\'... ... \defwd{probabilit\'e de l'\'ev\'enement \'el\'ementaire $\omega$}\/. \end{enum}


\begin{example} \hfill \begin{enum} \item Pour un jet de d\'e (non pip\'e), on p... ... uniforme $p(\omega)=1/6$\ pour tout $\omega\in\Omega$. \end{enum}\end{example}


\begin{remark} Le choix de l'univers $\Omega$\ n'est pas unique, en fait on peut... ...ndra alors $p(\text{PP})=p(\text{FF})=1/4$, et $p(\text{PF})=1/2$. \end{remark}


\begin{definition}[Espace probabilis\'e discret] Un\/ \defwd{espace probabilis\'... ...equation} \sum_{\omega\in\Omega} p(\omega) = 1\;. \end{equation}\end{definition}


\begin{remark} Nous n'avons pas exclu la possibilit\'e que l'univers $\Omega$\ s... ...ement le cas pour des s\'eries \\lq a termes positifs et n\'egatifs). \end{remark}


\begin{example} On jette une pi\\lq ece jusqu'\\lq a obtention du premier pile. On peu... ...a} p(\omega) = \sum_{i=1}^\infty \frac1{2^i} = 1\;. \end{equation}\end{example}


\begin{definition}[\'Ev\'enements] L'espace des\/ \defwd{\'ev\'enements}\/ (ou \... ...vers entier $\Omega$\ est l'\/\defwd{\'ev\'enement certain}\/. \end{definition}

Les opérations logiques élémentaires sur les événements correspondent à des opérations de théorie des ensembles, selon le tableau suivant:

Opération logique Équivalent ensembliste
$ A$ et $ B$ $ A\cap B$
$ A$ ou $ B$ $ A\cup B$
non $ A$ $ A^{\math{c}} = \Omega\setminus A$
$ A$, $ B$ incompatibles $ A\cap B = \emptyset$
$ A$ implique $ B$ $ A\subset B$


\begin{prop}\hfill \begin{enum} \item Pour tout $A\in\cF$, $0\leqs\fP(A)\leqs 1$... ...item On a $\fP(A\cup B) = \fP(A) + \fP(B) - \fP(A\cap B)$. \end{enum}\end{prop}

D´EMONSTRATION. En exercice. $ \qedsymbol$


\begin{remark} % latex2html id marker 137 \hfill \begin{enum} \item L'ensemble $... ... g\'en\'eralisable \\lq a des $\Omega$\ non d\'enombrables. \end{enum}\end{remark}


\begin{example}\hfill \begin{enum} \item Pour le lancer de deux d\'es \'equilibr... ... \fP(\set{1,\dots,r}) = \frac{r}{r+n}\;. \end{equation} \end{enum}\end{example}


berglund 2005-11-28