Equations Différentielles Stochastiques
Singulièrement Perturbées

Habilitation à Diriger des Recherches
Spécialité Mathématiques

Présentée à l'Université de Toulon et du Var par
Nils BERGLUND

Soutenue le 22 janvier 2004

Acceptée sur proposition du jury
Gérard BEN AROUS
Anton BOVIER
Jean-François LE GALL
Etienne PARDOUX
Pierre PICCO
Claude-Alain PILLET
Lawrence E. THOMAS		 Courant Institute
Weierstraß-Institut
Ecole Normale Supérieure
Université de Provence
C.N.R.S.
Université de Toulon et du Var
University of Virginia		 Rapporteur
Rapporteur

Président


Rapporteur

Nous considérons des systèmes d'équations différentielles stochastiques faisant intervenir deux échelles de temps bien distinctes. Nous commençons par établir, dans un cadre général, des propriétés de concentration des trajectoires au voisinage des variétés lentes du système déterministe correspondant. Nous étudions ensuite la dynamique au voisinage de points de bifurcation de la variété lente, en particulier dans le cas d'une bifurcation noeud-col et d'une bifurcation fourche. Les phénomènes apparentés de la résonance stochastique et de l'hystérésis dynamique sont également étudiés en détail. Finalement, nous dérivons la loi des temps de passage à travers une orbite périodique instable, pour une famille d'équations qui ne sont pas limitées au cas d'échelles de temps distinctes.

We consider systems of stochastic differential equations involving two well-separated time scales. We start by establishing, in a general setting, concentration properties of sample paths in a neighbourhood of the slow manifolds of the system's deterministic counterpart. We then study the dynamics in the neighbourhood of a bifurcation point of the slow manifold, in particular in the cases of a saddle-node and of a pitchfork bifurcation. The related phenomena of stochastic resonance and dynamical hysteresis are also studied in detail. Finally, we derive the law of first-passage times through an unstable periodic orbit, for a family of equations which are not limited to the case of well-separated time scales.

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Articles

  1. N. Berglund, B. Gentz, Pathwise description of dynamic pitchfork bifurcations with additive noise, Probab. Theory Related Fields 122:341-388 (2002)
    [    Abstract, DOI, PDF File, arXiv]
  2. N. Berglund, B. Gentz, A sample-paths approach to noise-induced synchronization: Stochastic resonance in a double-well potential, Ann. Appl. Probab. 12:1419-1470 (2002)
    [    Abstract, DOI, PDF File, arXiv]
  3. N. Berglund, B. Gentz, The effect of additive noise on dynamical hysteresis, Nonlinearity 15:605-632 (2002)
    [    Abstract, DOI, PDF File , arXiv ]
  4. N. Berglund, B. Gentz, Geometric singular perturbation theory for stochastic differential equations, J. Differential Equations 191:1-54 (2003)
    [    Abstract, DOI, PDF File, arXiv]
  5. N. Berglund, B. Gentz, On the noise-induced passage through an unstable periodic orbit I: Two-level model J. Statist. Phys. 114:1577-1618 (2004)
    [    Abstract, DOI, PDF File, arXiv]