GT ADG-Systèmes Dynamiques

Bord de Poisson et extensions du groupe libre
François GAUTERO (Nice)
Tuesday 21 February 2012 14:00 -  Orléans -  Salle de Séminaire

Résumé :
On considère un groupe G finiment engendré muni d'une mesure de probabilité µ. Le bord de Poisson de (G,µ) initialement introduit par Furstenberg, est un espace mesuré qui capture le comportement à l'infini des trajectoires de la marche aléatoire de transitions de probabilité p(g,h) = µ(h^-1g). Un problème classique est de parvenir à donner une description géométrique et/ou topologique de ce bord. Par exemple, le bord de Poisson d'un groupe fondamental de surface hyperbolique compacte Σ_g (genre g ≥ 2) est le cercle S¹ qui compactifie le disque de Poincaré, revêtement universel de Σ_g. Le bord de Poisson d'un groupe libre, dont le graphe de Cayley associé à une base est un arbre T, est formé par le Cantor des bouts des rayons géodésiques de cet arbre T (c'est aussi le bord du groupe libre). Plus généralement le bord de Poisson d'un groupe hyperbolique au sens de Gromov est le bord hyperbolique du groupe. Après avoir rappelé les notions de base nécessaires à la théorie des bords de Poisson, ainsi que les notions nécessaires relevant de la géométrie des groupes, on tentera de voir pourquoi le bord de Poisson d'une extension d'un groupe libre non abélien par un autre groupe libre non abélien se réduit souvent au bord du groupe libre. On fera appel pour cela aux critères de Kaimanovich et à la théorie des arbres réels.

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