Soutenance HDR/Doctorat

"Fluctuations des marches aléatoires en dimension 1 Théorèmes limites locaux pour des marches réfléchies sur N"
Rim ESSIFI
Wednesday 19 March 2014 14:30 -  Tours -  Salle des Thèses 0130 (Bât L)

Résumé :
L’objet de cette thèse est d’établir des théorèmes limites locaux pour des marches aléatoires réfléchies sur N. La théorie des fluctuations des marches aléatoires et la factorisation de Wiener- Hopf y jouent un rôle important. On développera dans la première partie une approche classique que l’on appliquera à l’étude des marches aléatoires sur R+ avec réflexions non élastiques en 0. Dans la deuxième partie, on explicitera une méthode différente qui fait intervenir des outils algébriques, d’analyse complexe et des techniques de factorisation utilisant de manière essentielle les fonctions génératrices. Cette approche a été développée il y a une cinquantaine d’année pour l’étude de marches de Markov, elle sera présentée dans cette partie dans le cas des marches aléatoires à pas i.i.d. où un certain nombre de simplifications apparaissent et sera ensuite utilisée pour étudier les marches aléatoires sur N avec réflexions élastiques ou non élastiques en zéro. Finalement, dans la dernière partie, nous mettons en place les outils nécessaires pour établir une factorisation de Wiener-Hopf dans un cadre markovien afin d’étudier les fluctuations des marches de Markov sur Z; nous reprenons des travaux anciens dont les démonstrations méritaient d’être détaillées, l’objectif à moyen terme étant d’appliquer les méthodes algébriques décrites ci-dessus pour l’étude de marches de Markov réfléchies sur N. Mots clés : Chaînes de Markov, marches aléatoires, théorème limite local, théorie des fluctuations des marches aléatoires, factorisation de Wiener-Hopf, marches aléatoires absorbées, marches aléatoires réfléchies, marches de Markov.

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