Séminaire SPACE Tours

Introduction aux M-coalescents et au problème de la descente de l'infini
Clément Foucart
Friday 21 October 2011 11:00 -  Tours -  Salle 2290 (Bât E2)

Résumé :
En 1999, Pitman et Sagitov ont défini indépendamment des processus à valeurs dans les partitions de N := {1, 2, ...}, appelés Lambda-coalescents. Ces processus sont notamment utilisés comme modèles de généalogies. De façon informelle, à chaque saut d'un Lambda-coalescent, les blocs qui coagulent, coagulent ensemble pour former un seul bloc (on parle de collisions multiples non simultanées ). Les taux de coagulations sont alors gouvernés par une mesure nie sur [0; 1], notée Lambda. Ces processus possèdent des propriétés remarquables, en particulier nous étudierons la propriété dites de descente de l'inni. Propriété signiant qu'immédiatement après 0, le processus n'a plus qu'un nombre fini de blocs. En 2000, Schweinsberg a établi un critère nécessaire et sufisant pour la descente de l'infini de ces processus. Nous nous intéresserons à une classe plus large de coalescents appelés, les M-coalescents. Contrairement aux Lambda-coalescents, où tous les blocs "jouent le même rôle", nous distinguerons un bloc (en lui "administrant" l'entier 0). Deux types de coagulations pourront alors avoir lieu, une coagulation classique entre des blocs ne contenant pas 0 (déterminée en loi par une mesure finie Lambda-1) ou une coagulation de blocs avec le bloc distingué (i.e contenant 0) (déterminée en loi par une mesure finie Lambda-0). On note M le couple de mesures (Lambda-0;Lambda-1). Après avoir brièvement motivé l'introduction de ce processus et l'avoir déni, nous étudierons la propriété de descente de l'infini. En utilisant des arguments martingales, nous établirons (de manière diférente) le critère de descente de l'infini de Schweinsberg, en particulier nous montrerons que la mesure Lambda-0 ne joue aucun rôle décisif dans la descente de l'infini des M-coalescents.

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