Séminaire Orléans

Autour des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré
Frédéric Bernicot (Lille)
Thursday 13 January 2011 14:00 -  Orléans -  Salle de Séminaire

Résumé :
Lors de cet exposé, nous presenterons deux résultats concernant les inégalités de Poincaré généralisées. L'inégalité standard est: $$\Vert f-f_B{\Vert }_{L^q(B)}\lesssim \Vert \mathrm{\nabla }f{\Vert }_{L^p(B)}$$ où $B$ est une boule de l'espace euclidien $R^d$, $f_B$ la valeur moyenne d'une fonction f sur cette boule et $q^{-1}=p^{-1}-d^{-1}$. Ainsi cette inégalité permet d'estimer l'oscillation d'une fonction au travers de la moyenne du gradient. Nous allons considérer deux extensions : 1-) Tout d'abord, nous nous interesserons aux oscillations données par un semi-groupe (correspondant alors aux inégalités pseudo-Poincare) et plus généralement par une famille générale d'opérateurs. Sous certaines hypothèses, nous décrirons alors une propriété d'auto-amélioration (sur l'intégrabilité de l'oscillation), similaire aux inégalités de John-Nirenberg pour les fonctions BMO. 2-) Puis nous nous interesserons à une version multilinéaire de ces inégalités. Dans ce cas, l'exposant q peut etre plus petit que 1 et nous montrerons comment démontrer de telles inégalités multilinéaires à l'aide d'une formule de représentation adéquate de l'oscillation.

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