Présence de Martine Babillot

Martine Babillot aurait eu 65 ans en septembre dernier. Si cet anniversaire n’est malheureusement pas célébré, nous proposons ici de revenir sur son œuvre et sur l’influence qu’elle continue d’exercer sur plusieurs branches de dynamique.

Martine s’est intéressée, dès sa thèse dirigée par L. Elie ([B88]), aux théorèmes limites fins (renouvellement, théorème limite local) pour des variables en dépendance markovienne faible et à valeurs dans Rd . Ce qui paraı̂t très technique (et ça l’est!) est au cœur de nombreux développements et est souvent cité par les chercheurs soucieux de revenir aux sources. Elle-même a estimé, par exemple, le nombre des géodésiques fermées sur
une variété hyperbolique de type fini dans une classe d’homologie fixée ([BP00]); sur ces variétés elle a aussi étudié les lois limites des enroulements des géodésiques autour des bouts cuspidaux ([BP06]). C’est un des exemples les plus naturels où apparaissent des lois limites stables qui ne sont pas gaussiennes.

Une autre application est la découverte de nouvelles mesures de Radon invariantes pour le flot horocyclique sur certaines surfaces hyperboliques de type infini ([BL98]). La classification des mesures finies invariantes par des groupes unipotents est un des grands succès de la dynamique homogène, avec de nombreuses applications. La diversité des mesures infinies possibles ouvre large un champ de possibilités. À ce sujet, Martine a défini la correspondance de Babillot dans le cas d’un groupe discret Γ d’isométries d’un espace hyperbolique ([B04]): inspirée par H. Furstenberg et D. Sullivan, elle associe à une mesure invariante ergodique par le flot horocyclique et quasi-invariante par le flot géodésique une fonction propre extrêmale pour le Laplacien sur la variété Γ \ H.

Martine a d’autres contributions profondes qui commencent à porter leurs fruits en dynamique: citons son critère de mélange ([B02b]), qui raffine le célèbre argument de Hopf pour l’ergodicité des flots hyperboliques. Un autre phénomène remarquable est celui de la stabilité locale pour les marches récurrentes nulles sur le groupe affine ([BBE97]): les trajectoires peuvent s’éloigner l’une de l’autre à l’infini tout en se rapprochant exponentiellement vite quand elles passent ensemble dans un compact.

Martine était aussi une enseignante passionnée et une passeuse enthousiasmante, comme en témoignent ses articles de survol qui sont encore précieux aujourd’hui: [B02a] sur les problèmes de comptages d’orbites de groupes discrets, [B06] (difficile à trouver) sur les frontières de Poisson, et son rôle central dans l’ouvrage collectif [AAB+10].

Sa personnalité lumineuse laisse un grand vide, mais la profondeur de ses idées est toujours présente au carrefour de la dynamique, de la géométrie et des probabilités.

[B88] Martine Babillot. Théorie du renouvellement pour les chaı̂nes semi-markoviennes transientes. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 24 (1988), no.4, 507–569.
[BBE97] Martine Babillot, Philippe Bougerol et Laure Elie. The random difference equation Xn = An Xn−1 + Bn in the critical case. Ann. Probab. 25 (1997), no.1, 478–493.
[BL98] Martine Babillot et François Ledrappier. Geodesic paths and horocycle flow on abelian covers. Lie groups and ergodic theory (Mumbai, 1996), 1–32. Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., 14 Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay; 1998.
[BP00] Martine Babillot et Marc Peigné. Homologie des géodésiques fermées sur des variétés hyperboliques avec bouts cuspidaux. Ann. Sci. École Norm. Sup., (4)33 (2000), no.1, 81–120.
[B02a] Martine Babillot. Points entiers et groupes discrets: de l’analyse aux systèmes dynamiques. Rigidité, groupe fondamental et dynamique, 1–119. With an appendix by Emmanuel Breuillard. Panor. Synthèses, 13. Société Mathématique de France, Paris, 2002
[B02b] Martine Babillot. On the mixing property for hyperbolic systems. Israel J. Math., 129 (2002), 61–76.
[B04] Martine Babillot. On the classification of invariant measures for horosphere foliations on nilpotent covers of negatively curved manifolds. Random walks and geometry, 319–335. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2004
[B06] Martine Babillot. An introduction to Poisson boundaries of Lie groups. Probability measures on groups: recent directions and trends, 1–90. Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai; 2006.
[BP06] Martine Babillot et Marc Peigné. Asymptotic laws for geodesic homology on hyperbolic manifolds with cusps. Bull. Soc. Math. France, 134 (2006), no.1, 119–163.
[AAB+10] Claire Anantharaman, Jean-Philippe Anker, Martine Babillot, Aline Bonami, Bruno Demange, Sandrine Grellier, François Havard, Philippe Jaming, Emmanuel Lesigne, Patrick Maheux, Jean-Pierre Otal, Barbara Schapira, Jean-Pierre Schreiber. Théorèmes ergodiques pour les actions de groupes. With a foreword by Amos Nevo. Monogr. Enseign. Math., 41 L’Enseignement Mathématique, Genève, 2010. 270 pp.
[G04] Yves Guivarc’h. Martine Babillot (1959–2003). Gaz. Math., (2004), no.99, 105–106.

Martine Babillot est née le 15 septembre 1959. Elle est entrée à l’E.N.S. de Sèvres en 1978, a obtenu l’agrégation en 1980 et a soutenu une thèse de 3ème cycle à Paris 7 en 1985. Elle a occupé plusieurs postes provisoires avant de devenir Maı̂tre de Conférences à Nanterre en 1986, à Paris 6 en 1992 et Professeur à Orléans en 1999. Dans son mémoire d’habilitation (Paris 6, 1997), elle remercie de nombreux chercheurs et surtout Yves Guivarc’h pour leurs partages mathématiques. Elle-même était généreuse de son temps avec les étudiants et les collègues. Elle a dirigé les thèses de Sara Brofferio (2002) et de Barbara Schapira (2003), qui sont toutes deux aujourd’hui Professeurs. Elle est décédée le 20 juillet 2003 après une courte maladie (cf. la notice [G04]).

François Ledrappier est Directeur de Recherches C.N.R.S. émérite au LPSM.