Agenda de l’IDP

Séminaire d'Analyse

Estimations a priori et singularités pour l'équation parabolique de Hamilton-Jacobi avec terme de viscosité
Marie-Françoise Bidaut-Véron (en collaboration avec Anh Nguyen Dao)
jeudi 14 avril 2011 10:30 -  Tours -  Salle 2290 (Bât E2)

Résumé :
Dans une première partie nous étudions les solutions faibles positives du problème parabolique \begin{equation} u_t+\mathcal{A}u+\left\vert \nabla u\right\vert ^{q}=0\hspace{0.5cm}\text{in} \Omega \times \left(0,T\right) \end{equation} dans un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^{N}$, $q>1$, où $\mathcal{A}$ est un opérateur quasilinéaire, dont le modèle est $\mathcal{A} =-\varepsilon\Delta_{p},$ $p>1,\varepsilon>0.$ Nous montrons un effet régularisant pour la fonction $u$ dans le cas du problème de Dirichlet avec données frontières bornées. Nous en déduisons une estimation universelle indépendante de $p$ et $\varepsilon$, qui n'est pas obtenue par des techniques de type Bernstein. Dans une seconde partie nous nous plaçons dans le cas usuel $p=2$, $\mathcal{A}=-\varepsilon\Delta$, et en déduisons la non-existence de solutions très singulières de l'équation de Hamilton-Jacobbi pour $q\geq\frac{N+2}{N+1}$, montrant que les résultats d'existence connus pour $q<\frac{N+1}{N+2}$ sont optimaux. Nous prouvons aussi que toute singularité ponctuelle en $(x,t)=(0,0)$ est éliminable.

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