Séminaire SPACE Tours
Des partitions non croisées à l'étude des sous-groupes paraboliques des groupes de tresses complexes.Owen Garnier (Université de Picardie Jules Verne)
Friday 13 December 2024 10:30 - Tours - E2 1180
Résumé :
La notion de partition non-croisée d'un polygone régulier a été introduite par Kreweras au début des années 1970. Durant les années 90, cette notion a été étendue par Reiner aux groupes de Coxeter de types $B$ et $D$ (le cas d'un polygone régulier correspondant à un groupe symétrique, i.e. un groupe de Coxeter de type $A$).
Au début des années 2000, Bessis, Digne et Michel ont exposé un lien entre les partitions non-croisées d'un n-gone régulier et le groupe de tresses à n brins. Ce lien a ensuite été généralisé par Bessis au cas de tous les groupes de Coxeter finis, puis au cas des groupes de réflexions complexes bien-engendrés arbitraires. Pour tout groupe de réflexions complexe bien-engendré $W$, le treillis des partitions non-croisées associées à $W$ est naturellement muni d'un produit partiel. Ce produit partiel permet de voir les partitions non-croisées comme un ensemble de générateurs d'un monoïde : le monoïde dual. Ce monoïde joue un rôle crucial dans l'étude du groupe de tresses complexe associé à $W$.
Dans cet exposé, je présenterais la théorie générale des treillis de partitions non croisées associées aux groupes de réflexions complexes bien engendrés, ainsi que les monoïdes duaux que ces treillis permettent de définir. En utilisant cette approche, j'expliquerai comment démontrer une importante propriété sur les monoïdes duaux, permettant à son tour l'étude des sous-groupes ''paraboliques'' des groupes de tresses complexes bien engendrés.
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