Séminaire SPACE Tours
Large Probabilité de passage de marches aléatoires dans des arbres infinisGuillaume Chevalier (IMB, Université de Bordeaux)
Friday 16 May 2025 10:30 - Tours - E2 1180
Résumé :
Lorsque l’on s'intéresse à une marche aléatoire à support fini sur un arbre infini, il est naturel de se demander quel comportement aura la probabilité que ma marche aléatoire se trouve dans un ensemble donné, à un temps donné. Lors de cet exposé, je présenterai une méthode permettant d'obtenir un développement asymptotique au sens de Poincaré de la probabilité de passage d'une telle marche aléatoire, dans une partie finie de l'ensemble des sommets de l'arbre, étendant ainsi un résultat dû à S.~P.~Lalley (Ann. Probab. 21 (1993), no. 4, p. 2087--2130).
Plus précisément, si A désigne un sous-ensemble fini de l'ensemble des sommets de l'arbre, alors il existe des constantes réelles C_A, (c_{A,k})_{k} telles que la suite de probabilités P_x(X_n \in A), que la marche aléatoire (X_n) basée en un sommet x, soit dans A au temps n, admet un développement asymptotique au sens de Poincaré de la forme :
P_x(X_n \in A) ~ C_A R^n n^(-3/2) (1 + \sum_{k \geq 1} c_{A,k} n^{-k/2} ).
La méthode employée emprunte des connaissances issues de la géométrie algébrique, de l'analyse complexe et de la combinatoire énumérative. Nous la présenterons sur l'exemple d'une marche aléatoire simple dans un arbre régulier.
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