Une variété de drapeau est un espace homogène G/P où P est un sous-groupe parabolique d’un groupe de Lie semi-simple non compact G. Ces variétés peuvent être considérées comme des strates de la sphère à l’infini de l’espace riemannien symétrique G/K. Dans le cas où G est de rang réel  1, la sphère est elle même une variété de drapeaux. La structure géométrique des variétés de drapeaux donne lieu à un complexe G-invariant d’opérateurs différentiels sur G/P ayant les 3 propriétés suivantes:

 

1) les fibrés sur lesquels sont définis ces opérateurs  sont de série principale (i.e. provenant d’une représentation de P=MAN triviale sur le groupe nilpotent N)

 

 2) la cohomologie de ce complexe est égale à la cohomologie de de Rham de G/P

 

3) le complexe est hypoelliptique maximal au sens de Helffer et Nourrigat. 

 

Nous nous intéresserons en fait surtout au cas de rang 1.