Title: Spectral Methods In SubRiemannian Geometry

Abstract: I present two parts that meet at one idea: studying subelliptic operators in subRiemannian geometry from a spectral point of view. First, we study the validity of concentration inequalities for eigenfunctions, for the generalised Baouendi Grushin operator on an infinite cylinder. We prove that generically, the eigenvalues of the Baouendi Grushin operator has multiplicity 2 which we prove to be a sufficient condition to the validity of the concentration inequality. Second, we study subRiemannian structures by approximating these structures with Riemannian ones. We introduce an approximation scheme and prove that it induces a volume form that coincides -up to a constant- with the Popp’s volume. We then prove that the spectrum of the family of Riemannian Laplacians associated to the approximation scheme converges to the spectrum of the subLaplacian.

Titre: Méthodes spectrales en géométrie sous-riemannienne

Resume: Je présente deux parties qui se rejoignent sur une idée : étudier les opérateurs subelliptiques en géométrie subRiemannienne d'un point de vue spectral. Tout d’abord, nous étudions la validité des inégalités de concentration pour les fonctions propres de l’opérateur généralisé de Baouendi-Grushin sur un cylindre infini. Nous démontrons que généralement, les valeurs propres de l’opérateur de Baouendi-Grushin ont une multiplicité de 2, que nous prouvons être une condition suffisante pour la validité de l’inégalité de concentration. Ensuite, nous étudions les structures sous-riemanniennes en les approximant par des structures riemanniennes. Nous introduisons un schéma d’approximation et prouvons qu’il induit une forme de volume qui coïncide - à une constante près - avec le volume de Popp. Nous démontrons ensuite que le spectre de la famille des Laplaciens riemanniens associés au schéma d’approximation converge vers le spectre du sous-Laplacien. Mots-clés : Théorie spectrale - Inégalité de concentration - Opérateurs sous-elliptiques - Théorie de la perturbation - Géométrie sous-riemannienne