Agenda de l’IDP

Séminaire d'Analyse

Représentation de martingales par formule de Dyson: application à des problèmes de diffusion
Henry Schellhorn
jeudi 29 septembre 2016 10:45 -  Tours -  Salle 1180 (Bât E2)

Résumé :
Nous obtenons une nouvelle(?) caractérisation de l'espérance mathématique conditionnelle, au temps t≤T, d'une variable aléatoire F, laquelle est F_{T} -mesurable et infiniment différentiable au sens de Malliavin. Nous obtenons des formules différentes selon que l'espace de probabilité est genéré par un mouvement Brownien, Brownien fractionnaire (avec coefficient de Hurst plus grand que 1/2) ou un processus de Lévy avec sauts. Ces formules ressemblent aux formules de Dyson en théorie quantique des champs. Elles peuvent être représentées par l'exponentielle d'un opérateur. Alors que dans le cas quantique l'operateur est egal a -2πi/ℏ fois l'Hamiltonien (dépendant du temps) du système, notre opérateur, dans le cas Brownien, est égal à la moitié de la seconde derivée de Malliavin de F, évaluée le long d'un chemin constant. Comme application de cette formule de Dyson, nous trouvons le prix d'une obligation dans le modèle de Cox, Ingersoll et Ross, d'abord quand l'incertitude est genérée par un mouvement Brownien fractionnaire, et ensuite quand elle l'est par un processus de Lévy. D'un point de vue théorique, cette formule peut être employée pour déterminer la solution par semi-groupe d'une certaine catégorie d'EDP dépendantes du chemin, introduites par Dupire, et analysées entre autres par Cont et Fournié. Cette recherche a ete menée en commun avec Qidi Peng et Sixian Jin (Claremont Graduate University), ainsi que Josep Vives (université de Barcelone).

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