Séminaire d'Analyse

Régularisation entropique du problème de Monge
Jean Louet
Thursday 09 February 2017 10:45 -  Tours -  Salle 1180 (Bât E2)

Résumé :
"Le problème du transport optimal consiste à minimiser l'énergie totale du déplacement parmi les fonctions (vectorielles) à mesure image prescrite ; une relaxation usuelle de ce problème consiste à minimiser la même énergie parmi les couplages ("plans de transport") entre deux mesures données, i.e. parmi les mesures sur l'espace produit dont les marginales sont prescrites. Sous des hypothèses classiques, le plan de transport optimal est unique et coïncide avec le graphe d'une fonction vectorielle qui est solution du problème de départ. La "régularisation entropique" est une méthode d'approximation numérique efficace des solutions: il s'agit d'ajouter à l'énergie un terme forçant les plans de transport à être les plus diffus possibles, que l'on multiplie par un paramètre \eps>0. Lorsque le plan de transport optimal est unique, c'est bien celui qui est sélectionné à la limite quand \eps tend vers zéro. Dans cet exposé, on s'intéresse aux cas où le plan de transport optimal n'est pas unique, et on cherche à savoir laquelle est sélectionnée à la limite par la régularisation entropique. Je présenterai les résultats obtenus en dimension 1, où l'on montre que c'est le plan optimal le plus diffus possible qui apparaît à la limite, ainsi que certaines pistes en dimension supérieure pour laquelle la structure des solutions est bien plus complexe. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Simone Di Marino (Pise)."

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