Agenda de l’IDP

Séminaire SPACE Tours

Groupes d'Artin virtuels
Paolo Bellingeri (Université de Caen)
vendredi 03 décembre 2021 10:30 -  Tours -  E 1180

Résumé :
Les groupes de tresses virtuelles ont été introduits comme
"traduction" dans le monde des tresses  des nœuds virtuels.
Du point de vue combinatoire il est intéressant de remarquer
que le groupe de tresses virtuelles à n brins, VB_n, admet deux homomorphismes
surjectifs sur le groupe symétrique S_n. Les noyaux de ces deux homomorphismes
ont des significations et des applications différentes : le premier,
le groupe de tresses pures virtuelles VP_n,
coïncide avec le groupe quasi-triangulaire QTr_n considéré par L
Bartholdi, B Enriquez, P Etingof, E Rains
en relation avec les équations de Yang Baxter, tandis que le second,
généralement noté KB_n,
est un groupe d'Artin et il s'avère être un outil puissant pour
étudier les propriétés combinatoires de VB_n.

Partant du constat que la présentation standard d'un groupe de tresses
virtuelles mélange les présentations usuelles du groupe de tresses
$B_n$ et du groupe symétrique  $S_n$ ainsi que l'action du groupe
symétrique sur son système de racine, on définit pour tout graphe de
Coxeter Γ un groupe d'Artin "virtuel", VA[Γ], avec une présentation
qui mélange les présentations standards du groupe d'Artin A[Γ] et du
groupe de Coxeter W[Γ] avec l'action de W[Γ] sur son système de
racines. Comme dans le cas de VB_n, nous définirons deux
homomorphismes surjectifs de VA[Γ] à W[Γ] : nous fournirons des
présentations de groupe pour ces noyaux (entièrement déterminées par
les systèmes de racine) et nous montrerons plusieurs résultats
généraux sur ces familles de groupes.

Travail commun avec Luis Paris et Anne-Laure Thiel.


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