Séminaire de Géométrie

Le volume de Seifert des variétés graphées
Pierre Derbez (Marseille)
Friday 11 December 2009 14:00 -  Tours -  Salle 2290 (Bât E2)

Résumé :
On étudie le problème suivant posé par M. Gromov : étant données deux variétés $M,N$, on considère l'ensemble $D(M,N)$ des degr\'es possibles d'applications de $M$ vers $N$. Pour quelles variétés $N$, l'ensemble $D(M,N)$ est-il fini pour tout $M$? En dimension trois, cette question est ouverte précisément pour les variétés graphées non-triviales. La difficulté provient du fait qu'elles ont un volume simplicial nul et qu'elles n'admettent pas de métriques complètes localement homogènes. Cela nous conduit à étudier un autre invariant qui "remplace" le volume simplicial: le volume de Seifert qui s'obtient en prenant le maximum des volumes des représentations, dont la classe d'Euler est de torsion, du groupe fondamental de $N$ dans ${\rm PSL}(2,R)$. On montrera que toute variété graphée non-triviale a un volume de Seifert virtuellement non-nul. Comme conséquence on obtient que pour toute variété première $N$, l'ensemble $D(M,N)$ est fini pour tout $M$ si et seulement si $N$ n'est pas virtuellement un fibré en tores, un fibré en cercles trivial ou la sphère de dimension 3. (Travail en commun avec Shicheng Wang, Peking University)

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