Séminaire de Géométrie

Problème de Plateau, systèmes fuchsiens et problème de Riemann-Hilbert
Laura Desideri (Jussieu)
Friday 28 May 2010 14:00 -  Tours -  Salle 2290 (Bât E2)

Résumé :
Le problème de Plateau est le suivant : montrer que toute courbe fermée connexe de Jordan de R^3 est le bord d'un disque minimal. Les premières résolutions générales (reconnues !) sont données au début des années 1930 par Douglas et Rado. Pourtant, en 1928, Garnier a proposé une résolution dans le cas d'un bord polygonal qui semble avoir été complètement oubliée. Sa démonstration est très différente de la méthode variationnelle, elle repose sur le fait qu'on peut associer une équation fuchsienne réelle à toute surface minimale à bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée par les directions des côtés du bord polygonal. Pour résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à résoudre un problème de Riemann-Hilbert, et à construire des déformations isomonodromiques d'équations fuchsiennes. Je vais présenter les grandes lignes de la démonstration de Garnier, et si le temps le permet, la généralisation que j'en ai donnée au cas où l'espace ambiant est l'espace de Minkowski de dimension trois.

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