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Séminaire Orléans

Les fonctions d'ondes sphéroïdales : estimations uniformes, qualités d'approximations dans les espaces de Sobolev et applications en traitement du signal
Abderrazak Karoui (Bizerte)
Thursday 06 January 2011 14:00 -  Orléans -  Salle de Séminaire

Résumé :
Pour un réel $c>0$, dit la taille de la bande, les fonctions d'ondes sphéroïdales (PSWFs) sont définies comme étant les différentes fonctions propres à la fois, d'un opérateur différentiel de Sturm-Liouville défini sur $C^2([-1,1])$, et d'un opérateur intégral de Hilbert-Schmidt et auto-adjoint, défini sur $L^2([-1,1])$ et noté $F_c$. En conséquence, les PSWFs peuvent être caractérisées comme l'unique système constituant à la fois une base Hilbertienne de $L^2([-1,1])$, une famille orthogonale de $L^2(\mathbb R)$ et une base de l'espace de Paley-Wiener $B_c$, des fonctions à bandes dans $[-c,c]$. Signalons que, malgré une riche litérature sur le sujet des PSWFs, de nombreuses propriétés qualitatives et quantitatives des PSWFs restent encore à découvrir. Dans la première partie de cet exposé, on étudiera de nouvelles estimations uniformes des PSWFs et de leurs dérivées. Ces estimations seront utilisées par la suite pour démontrer la décroissance exponentielle du spectre de l'opérateur $F_c$, et d'étudier la qualité d'approximation des PSWFs dans les espaces de Sobolev $H^s([-1,1])$. Dans la deuxième partie de cet exposé, on décrirera quelques applications des PSWFs dans le domaine du traitement du signal, telles les principes d'incertitudes et la reconstruction stable des signaux à bandes limités, ainsi que l'approximation des signaux à temps et à bandes presque limités.

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