Séminaire de Géométrie

Sur la géométrie du produit semi-direct de $Diff_+(S^1)$ par le groupe des opérateurs pseudo-différentiels bornés dans la classe de Kontsevich et Vishik
Jean-Pierre Magnot
Friday 23 February 2024 13:30 -  Tours -  1180 (Bât. E2)

Résumé :

Le groupe $Diff_+(S^1)$ des difféomorphismes du cercle, ainsi que les groupes d'opérateurs pseudo-différentiels formels, jouent un rôle central dans la théorie des systèmes intégrables classiques. De nombreux systèmes intégrables peuvent être exprimés en termes d'équations géodésiques, ou d'équations de courbure nulle, sur ces objets et marginalement sur leur produit semi-direct. Après avoir balayé, selon une vue panoramique, quelques exemples célèbres de telles équations, je vais proposer un cadre de travail élargi aux opérateurs non-formels, c'est à dire agissant sur $C^\infty(S^1,V)$ où $V$ est un espace Euclidien. Dans un premier temps, je décrirai ces opérateurs, l'action du groupe, le produit semi-direct et ses propriétés, certaines connues, d'autres nouvelles, en particulier en lien avec la hiérarchie de Kadomtsev-Petviashvili. Dans un deuxième temps, je décrirai des connexions à courbure infiniment régularisante sur ce groupe d'opérateurs avec quelques conséquences géométriques. Enfin, je décrirai une nouvelle classe de métriques pseudo-Riemanniennes, actuellement décrite uniquement sur le groupe des opérateurs pseudo-différentiels bornés, pour laquelle on peut définir une connexion (pseudo-Riemannienne). Les équations géodésiques obtenues sont de type "solide indéformable", elles ont une expression de type Lax, et possèdent une infinité d'intégrales du mouvement. Les traces renormalisées sont un outil central dans cette dernière partie et leurs propriétés utiles seront rappelées.

Cet exposé est basé sur les travaux suivants:

• Rigid body equations on spaces of pseudo-differential operators with renormalized trace (avec E.G.Reyes) arxiv:2104.08159
• On the Cauchy problem for a Kadomtsev-Petviashvili hierarchy on non-formal operators and its relation with a group of diffeomorphisms (avec E.G. Reyes), à paraître dans Dynamics of PDEs
• On diffeological principal bundles of non-formal pseudo-differential operators over formal ones Proceedings of the International Geometry Center, 16(2), 125-141 (2023)
• On the geometry of $Diff(S^1)-$pseudodifferential operators based on renormalized traces Proceedings of the International Geometry Center 14(1), 19-48 (2021)

 

Liens :

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