Séminaire d'analyse
Sur la stabilité du groupe de Möbius de la n-sphereXavier Lamy (Université Paul Sabatier, Toulouse)
Thursday 29 February 2024 14:00 - Tours - E2290
Résumé :
D'après un théorème dû à Liouville, si une application de la $n$-sphère dans elle-même est conforme (et de degré $\pm 1$ si $n=2$), c'est une transformations de Möbius: composée, après projection stéréographique, de dilatations, rotations, inversions et translations. La question de la stabilité de ce résultat de rigidité est classique: si une application est "presque conforme", est-elle nécessairement proche d'une transformation de Möbius ? On peut aussi se demander ce qu'il en est si l'image de l'application est seulement "presque sphérique". Je présenterai des estimations de stabilité optimales obtenues avec André Guerra et Konstantinos Zemas, qui généralisent aux dimensions supérieures des résultats récents pour la 2-sphère (où, contrairement aux dimensions supérieures, le problème est directement linéarisable).
On the stability of Möbius maps of the n-sphere
A classical theorem of Liouville asserts that if a map from the sphere to itself is conformal, then it must be a Möbius transform: a composition of dilations, rotations, inversions and translations (identifying sphere and euclidean space via stereographic projection). There is a long history of studying stability of this rigidity statement: if a map is nearly conformal, must it be close to a Möbius transform? One can also ask what happens if the image of the map is only nearly spherical. I will present optimal stability estimates obtained with André Guerra and Kostantinos Zemas, which generalize to higher dimensions recent results for the 2-sphere (where, unlike higher dimensions, the problem can be directly linearized).
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