Séminaire Orléans
Résultats récents sur la composition dans les espaces de SobolevGérard Bourdaud (Paris Diderot)
Thursday 25 September 2025 14:00 - Orléans - Salle de Séminaires
Résumé :
The characterization of the functions $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, such that the composition operator $N_f(g):= f\circ g$ sends the Sobolev space $W^m_p(\mathbb{R}^n)$ into itself, was solved thirty years ago. But some pertinent properties of $N_f$ were overlooked in 1990, namely : (i) the continuity of $N_f$, (ii) the validity of the Faà di Bruno's formula for the successive derivatives of $f\circ g$ , whatever be $g\in W^m_p(\mathbb{R}^n)$. Those properties have been proved recently (2019, 2024). As observed by Adams and Frazier (1992), the good substitute to $W^m_p(\mathbb{R}^n)$ turns to be the space $(\dot{W}^m_p\cap \dot{W}^1_{mp})(\mathbb{R}^n)$.
La caractérisation des fonctions $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, telles que l'opérateur de composition $N_f(g):= f\circ g$ envoie l'espace de Sobolev $W^m_p(\mathbb{R}^n)$ dans lui-même, a été obtenue il y a trente ans. Mais certaines propriétés de $N_f$ ont été ignorées en 1990, notamment : (i) la continuité de $N_f$, (ii) la validité de la formule de Faà di Bruno pour les dérivées successives de $f\circ g$ quel que soit $g\in W^m_p(\mathbb{R}^n)$. Ces deux propriétés ont été établies récemment (2019, 2024). Comme l'avaient observé Adams et Frazier en 1992, l'espace $(\dot{W}^m_p\cap \dot{W}^1_{mp})(\mathbb{R}^n)$ apparaît comme le meilleur substitut de $W^m_p(\mathbb{R}^n)$ dans ce contexte.
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