Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats récents concernant l’équation de la chaleur stochastique avec bruit multiplicatif  (stochastic heat equation, SHE). Il s’agit d’une EDP stochastique qui est singulière et mal définie dans sa dimension critique d=2. Dans ce cas, une procédure de normalisation subtile a récemment été mise en place pour en donner un sens.

Je présenterai l’approche probabiliste développée par Caravenna, Sun, Zygouras : elle est basée sur l’étude du modèle de polymère dirigé, qui est un modèle de mécanique statistique étudié depuis presque 50 ans, et qui peut être vu comme une version discrétisée de SHE. Lorsque les paramètres du modèle sont dans une fenêtre critique très précise, Caravenna, Sun, Zygouras ont montré qu’il existait une limite d’échelle non-triviale, qu’ils ont appelée Critical 2D Stochastic Heat Flow et interprétée comme une (notion de) solution à l’équation de la chaleur stochastique 2d. Je passerai ensuite en revue quelques propriétés de ce Stochastic Heat Flow, et donnerai quelques résultats obtenus en collaboration avec F. Caravenna et N. Turchi.