Séminaire SPACE Tours
Convergence vers des lois stables pour les processus quasi-additifs et application aux produits de matrices aléatoiresAxel Péneau (IDP, Université de Tours)
Friday 14 November 2025 10:30 - Tours - E2 1180
Résumé :
On considère une marche aléatoire $g_n = \gamma_{0} \cdots \gamma_{n-1}$ où les $\gamma_i$ sont identiquement distribués dans un groupe $G$.
On s'intéresse aux cas $G = \mathrm{SL}(\mathbb{K}^d)$ avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}_p, \mathbb{F}_p(t), ...$, muni de la pseudo-distance de groupe $\kappa(g) = \log\|g\|$.
On suppose bien entendu que l'ensemble des valeurs atteignables par la marche aléatoire $(g_n)$ ne soit pas dans un sous groupe algébriquement trop petit de $G$ en faisant des hypothèses de forte irrédictibilité et de proximailté dont on rappelera l'énoncé.
Un problème qui a longtemps résisté aux chercheurs est celui de trouver une condition suffisante raisonnable pour laquelle la loi de $\kappa(g_n)$, recentrée et renormalisée, converge vers une loi stable au sens du theorème central limite généralisé de Paul Lévi.
Pour cause, la condition de convergence vers les lois stables non gaussienne, dont on rappelera l'énoncé, est beaucoup plus sensible que la condition de moment d'ordre $2$ du Théorème central limite classique.
J'ai récemment démontré que la convergence en loi de $\kappa(g_n)$ a lieu dès que la loi de $\kappa(\gamma_0)$ est dans le domaine d'attraction de la dite loi stable, c'est-à-dire que la loi de $(S_n - b_n)/a_n$ converge pour $S_n = \kappa(\gamma_0) + \cdots + \kappa(\gamma_{n-1})$ et $(a_n)$ et $(b_n)$ des suites que l'on définira. Pour ça, on démontre simplement une loi faible des grands nombres pour la différence $\Delta_n$ entre $\kappa(g_n)$ et la somme $\kappa(\gamma_0) + \cdots + \kappa(\gamma_{n-1})$. On se base pour ça sur un résultat obtenu par la méthode des temps pivots qui dit que pour tout exposant $q > 0$, tel que $\kappa(\gamma_0)$ a un moment d'ordre $q$, le moment d'ordre $2q$ de $\kappa(g_m) + \kappa(\gamma_m\cdots\gamma_{n-1}) - \kappa(g_n)$ est borné par une constante qui ne dépend pas de $m$ et $n$. De ce gain de moment et par un argument de dichotomie que j'expliquerais, on déduit une loi faible des grands nombres pour $\Delta_n$, c'est- à dire qu'il existe une constante $\delta$ telle que $(\Delta_n - n \delta) /a_n$ converge en probabilité vers $0$.
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