Séminaire Orléans

Limites de champ moyen pour des diffusions en interaction en milieu aléatoire
Eric Luçon (TU Berlin)
Thursday 31 January 2013 14:00 -  Orléans -  Salle de Séminaire

Résumé :
On considère un système de diffusions interagissant en champ moyen et dont la dynamique et les interactions dépendent d'un aléa supplémentaire, vu comme un milieu aléatoire. Ce genre de modèles désordonnés est motivé par des problèmes issus de la mécanique statistique et de la biologie (synchronisation d'oscillateurs ou de neurones). Le but de cet exposé sera de comprendre le comportement du système pour un grand nombre de particules et pour une réalisation fixée du désordre (modèle quenched). On montrera premièrement que la loi des grands nombres est gouvernée par une EDP non linéaire (équation de McKean-Vlasov) dont il est possible, dans certains cas, de décrire la dynamique en temps long. On peut ensuite montrer que le théorème central limite quenched associé à cette convergence est décrit par une EDP stochastique linéaire, dont le comportement en temps long traduit un phénomène remarquable: pour un nombre fini de particules, les fluctuations du désordre entrent en compétition avec les fluctuations browniennes et induisent une rotation (aléatoire) du système. Si le temps le permet, je parlerai de généralisations spatiales de ces modèles, pour lesquelles on peut établir des équations de McKean-Vlasov similaires. Cette partie est un travail en commun avec Wilhelm Stannat (TU Berlin).

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