Colloquium de l'IDP

Les ensembles nodaux des graphes et une formule de perturbation magnétique
Yves Colin de Verdière (Institut Fourier, Grenoble)
Thursday 30 January 2014 14:00 -  Orléans -  Salle de Séminaire

Résumé :
Si G=(V,E) est un graphe fini et A_0 un opérateur symétrique de type "Schrödinger" sur G, on considère une fonction propre \phi : V -> \R associée à la n-ième valeur propre \lambda _n de A_0. Pour presque tout A_0, \lambda_n est simple et \phi ne s'annule pas sur V. Je vais décrire quelques résultats sur l'ensemble nodal Z_\phi de \phi qui est défini comme l'ensemble des arêtes où \phi change de signe. Une formule remarquable, due à Gregory Berkolaiko, relie le cardinal de l'ensemble Z_\phi et l'indice de Morse de la fonction B -> \lambda_n (A_B) où B est une perturbation magnétique de A_0. J'en donnerai une preuve élémentaire ainsi qu'une extension aux laplaciens continus.

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