Séminaire SPACE Tours
Le modèle de boucles O(n) sur les cartes aléatoiresJérémie Bouttier (CEA)
Friday 28 April 2017 10:45 - Tours - Salle 1180 (Bât E2)
Résumé :
Le modèle O(n) peut être défini en terme de boucles sur réseau, où n joue le rôle d'une fugacité par boucle. En deux dimensions, ce modèle possède un riche comportement critique, impliquant des exposants critiques variant continûment avec n. Dans cet exposé, nous considérons le cas où le modèle est «couplé à la gravité quantique», c'est-à-dire qu'on se place sur des cartes aléatoires au lieu d'un réseau régulier. Il est connu depuis les années 90 que la fonction de partition de ce modèle peut être exprimée sous forme d'une intégrale matricielle, qui peut être évaluée exactement dans la limite planaire. Il y a quelques années, nous avons revisité le problème avec G. Borot et E. Guitter via une approche combinatoire, qui permet de relier le modèle à la distribution dite de Boltzmann sur les cartes aléatoires sans boucles. En particulier, nous avons ainsi établi une relation entre les points critiques du modèle O(n) et les « cartes stables » introduites par Le Gall et Miermont. Après une revue de ces résultats, je présenterai un travail plus récent réalisé en collaboration avec G. Borot et B. Duplantier, où nous étudions la statistiques des emboîtements entre boucles. Plus précisément nous considérons la statistique du nombre de boucles séparant deux points marqués. La série génératrice associée peut être calculée exactement et, en analysant ses singularités, nous montrons qu'à un point critique le nombre de boucles séparantes croît logarithmiquement avec la taille des cartes, avec une fonction de grande déviation explicite. Par une généralisation continue de la relation KPZ, nos résultats sont en accord avec ceux de Miller, Watson et Wilson sur les statistiques d'emboîtements dans les CLE (Conformal Loop Ensembles).
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