Séminaire d'Analyse
CONTRÔLABILITÉ À ZÉRO D’UN SYSTÈME DE RÉACTION-DIFFUSION DE DEUX ESPÈCES AVEC COUPLAGE NONLINÉAIREKevin Le Balc'h
Thursday 22 November 2018 10:45 - Tours - Salle 1180 (Bât E2)
Résumé :
Dans les années 1995-1996, Gilles Lebeau, Luc Robbiano et Andrei Fursikov, Oleg Imanuvilov ont démontré de manière indépendante que l'équation de la chaleur contrôlé par un terme source localisé en espace est globalement contrôlable à zéro en temps arbitrairement petit. Autrement dit, si vous considérez une pièce fermée, alors pour n'importe quelle distribution de température initiale, vous pouvez amener la température de la pièce toute entière à 0 au moyen d'un radiateur de taille aussi petite que vous voulez et ceci en temps arbitrairement court. Ce résultat a donné lieu à de nombreux travaux sur la contrôlabilité à zéro de systèmes paraboliques linéaires et nonlinéaires dans les années 2000.\\ \indent Dans cet exposé, je m'intéresserai au modèle-jouet suivant : pour $n \geq 2$, \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l l} \partial_t u - \Delta u = h 1_{\omega} &\mathrm{dans}\ (0,T)\times\Omega,\\ \partial_t v - \Delta v = u^{n} &\mathrm{dans}\ (0,T)\times\Omega,\\ u,v= 0&\mathrm{sur}\ (0,T)\times\partial\Omega,\\ (u,v)(0,.)=(u_0,v_0)& \mathrm{dans}\ \Omega, \end{array} \right. \tag{Power} \label{systemeu^n} \end{equation} où $T>0$ est un temps arbitraire, $\Omega$ est un ouvert borné de $\R^N$, $\omega$ est un ouvert non vide contenu dans $\Omega$. Dans \eqref{systemeu^n}, $(u,v)(t,.)$ est l'\textit{état} du système sur lequel on agit au moyen du \textit{contrôle} $h(t,.)$, localisé dans le (petit) ouvert $\omega$. Après avoir pointé les principales différences que présentent ce système par rapport aux travaux antérieurs, je montrerai que \eqref{systemeu^n} est globalement contrôlable à $0$ au temps $T$ \textit{ssi} $n$ est impair.
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