C*-académie

Equivalence mesurée quantitative
Romain Tessera
Friday 20 March 2020 14:00 -  Orléans -  salle de séminaire

Résumé :

L'équivalence mesurée a été introduite par Gromov. L'exemple fondamental est une paire de réseaux dans un groupe localement compact. Selon un célèbre résultat d'Ornstein et Weiss, tous les groupes moyennables dénombrables sont mesure équivalents. Ceci implique que toute géométrie est gommée par cette relation d'équivalence. Récemment une notion plus restrictive a été introduite et étudiée: celle d'équivalence mesurée intégrable, pour laquelle on impose que les cocycles associés sont intégrables. Etonnamment, cette condition permet de faire ressurgir des propriétés géométriques: par exemple Bowen a montré que la croissance du volume est invariante, et Austin a démontré que les cônes asymptotiques des groupes nilpotents sont bi-Lipschitz. Dans un travail en commun avec Delabie, Koivisto et Le Maître, nous étendons cette étude en cherchant à comprendre systématiquement quel degré d'intégrabilité permet de préserver telle ou telle propriété géométrique. Nos résultats vont dans deux directions: nous prouvons des énoncés de rigidité, dont en particulier un résultat très général de monotonicité du profil isopérimétrique. D'autre part nous introduisons une nouvelle méthode de construction de couplages orbitaux, ce qui induit des résultats de flexibilité montrant dans de nombreux cas que le résultat précédent est optimal. Enfin, nous montrons un théorème de rigidité pour les groupes hyperboliques impliquant l'optimalité d'un résultat de Shalom pour les réseaux en rang un. 

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