Séminaire de Géométrie

Constante systolique et variétés plates
Chady El Mir (Tours)
Friday 16 October 2009 14:00 -  Tours -  Salle 2290 (Bât E2)

Résumé :
La systole $sys(M,g)$ d'une variété riemannienne compacte $(M,g)$, de dimension $n$, non simplement connexe, est la plus petite longueur d'une géodésique fermée non homotope à un point. Un résultat fondamental de M.Gromov assure que si $M$ est essentielle, il existe une constante $c(M)$ strictement positive telle que, pour toute métrique $g$ sur $M$, le volume total $Vol(M,g)$ soit supérieur ou égal à: $$c(M) sys(M,g)^n$$. Les surfaces compactes (autres que $S^2$) sont essentielles, et le théorème de Gromov est une généralisation profonde des mêmes résultats pour le tore $T^2$ [C.Loewner], pour le plan projectif [M. Pu] et pour la bouteille de Klein [C. Bavard]. Pour ces variétes la constante $c(M)$ est connue, mais en dimension supérieure on ne connait pratiquement rien hormis l'existence-même de cette constante. Nous nous intéressons aux variétés de Bieberbach de dimension 3, c'est-à-dire aux variétés compactes de dimension 3 qui portent une métrique riemannienne plate qui ne sont pas des tores, et nous démontrons que les métriques plates ne sont pas optimales pour le quotient systolique.

Liens :