Séminaire de Géométrie

Films de savon et polyèdres
Vincent Feuvrier (Orsay)
Friday 26 March 2010 14:00 -  Tours -  Salle 2290 (Bât E2)

Résumé :
On s’intéresse à des problèmes de minimisation de la mesure de Hausdorff (problèmes de Plateau) dans des classes topologiques génériques avec des hypothèses géométriques initiales faibles. En terme de courants, on cherche à minimiser la taille (mesure du support) et non la masse (intégrale de la multiplicité sur le support). Il existe relativement peu de théorèmes d’existence de solutions dans ce cadre. On dispose d’un théorème d’approximation polyédrale de type Federer-Fleming pour nos compétiteurs permettant de garder des angles uniformément plats entre les faces de toutes dimensions des polyèdres adjacents. Cette propriété uniforme permet d’exhiber une suite minimisante du problème pour laquelle la mesure est semi-continue inférieurement par passage à la limite. En outre, la limite est minimale au sens d’Almgren. La régularité intérieure locale des ensembles minimaux est connue en dimension 2 grâce au théorème de Jean Taylor (ainsi que ses généralisations en codimension plus grande par Guy David) et permet de conclure dans certains cas à l’existence de solutions. On donnera quelques exemples de classes topologiques pour lesquelles cette méthode permet d’obtenir des résultats d’existence, dont certains nouveaux : – classes topologiques périodiques en dimensions 1 et 2, – contrainte topologique de séparation locale en codimension 1, – bornes inférieures sur la topologie globale dans une variété C2 compacte et sans bord.

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