Séminaire d'Analyse

Estimation a priori et existence pour des problèmes elliptiques avec de perturbations sous quadratiques par rapport au gradient
François Murat
Thursday 28 January 2010 11:15 -  Tours -  Salle 2290 (Bât E2)

Résumé :
Dans cet exposé, je considèrerai le problème modèle $$ u \in H^1_0 (\Omega), \qquad - {\rm div} \, A(x) Du + \alpha_0 u = \gamma |Du|^q + f(x) \; \; \hbox{dans} \; {\cal D}'(\Omega),$$ où $A$ est une matrice coercive à coefficients dans $L^\infty (\Omega)$, $\alpha_0 \geq 0$, $0 \leq q \leq 2$ et $f\in L^m (\Omega)$ pour un $m$ convenable. Il s'agit là d'un problème modèle, susceptible de nombre de variantes. En particulier, je considèrerai le cas où le second membre est contrôlé par (sans être nécessairement égal à) $\gamma |Du|^q + f(x)$. Dans le cas où $0 \leq q < 1$, l'existence est classique pour $f \in H^{-1} (\Omega)$. Le cas où $q = 1$ et $f \in H^{-1} (\Omega)$ présente déjà une difficulté notable quand $\gamma$ est grand ; il a été résolu par G.~Bottaro et M.E.~Marina en 1973. Le cas où $q = 2$ a été étudié en particulier par L. Boccardo, J.-P. Puel et moi même dans une série d'articles où nous avons démontré l'existence d'une solution $u \in H^1_0 (\Omega) \cap L^\infty (\Omega)$ (et une estimation a priori dans ces espaces) quand $\alpha_0 > 0$ et $f\in L^m (\Omega)$ pour $m > {{N} / {2}}$ ; V.~Ferone et moi même avons ensuite démontré l'existence d'une solution $u \in H^1_0 (\Omega)$ avec ${\rm exp} (\gamma u) - 1 \in H^1_0 (\Omega)$ (et une estimation a priori dans ces espaces) quand $\alpha_0 = 0$ et $f \in L^{{N} / {2}} (\Omega)$ avec $f$ assez petit dans $L^{{N} / {2}} (\Omega)$ ; le cas $\alpha_0 = 0$ et $f \in L^{{N} / {2}} (\Omega)$ quelconque a été traité par A. Dall'Aglio, D. Giachetti et J.-P. Puel. Dans cet exposé, je présenterai surtout des résultats obtenus en collaboration avec N.~Grenon et A.~Porretta qui ont été annoncés dans C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 342, (2006), {pp. 23-28} : quand $1 + {{2} / {N}} \leq q <2$ et $f\in L^m(\Omega)$ avec $m = {{N (q-1)} / {q}}$ (nous traitons aussi le cas où $1\leq q < 1 + {{2} / {N}} $ mais je ne le discuterai pas car il nécessite de faire appel à la notion de solution renormalisée), et quand $\alpha_0 >0$ ou bien quand $f$ est assez petit dans $L^m(\Omega)$, nous démontrons l'existence d'une solution $u \in H^1_0 (\Omega)$ avec $|u|^\sigma \in H^1_0(\Omega)$ pour $\sigma = {{(N-2) (q - 1)} / {2(2 - q)}}$. Nous obtenons de plus une estimation a priori pour toute solution du problème qui appartient à cette classe. L'intérêt principal de notre résultat réside dans cette estimation a priori, dont la démonstration est non standard.

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