Séminaire SPACE Tours

La dichotomie de Hopf-Sullivan pour les variétés de rang un
J.C. Picaud
Friday 01 October 2010 11:00 -  Tours -  Salle 2290 (Bât E2)

Résumé :
Une propriété essentielle du flot géodésique des variétés compactes de courbure sectionnelle strictement négative est son caractère hyperbolique, traduit par la propriété d'Anosov. De cette propriété, découlent d'importants résultats, au rang desquels on peut citer l'ergodicité du flot pour la mesure de Liouville, démontrée en 1971 par E. Hopf (sans qu'il soit question de flot d'Anosov), mais aussi l'unicité de la mesure d'entropie maximale, vis-à-vis de laquelle le flot géodésique est encore ergodique. Le principe, si l'on souhaite supprimer l'hypothèse de compacité, est de garder suffisamment de complexité topologique, faute de quoi le flot géodésique ne serait constitué que d'un ensemble errant à propos duquel on ne pourrait espérer aucun résultat. Cette complexité topologique est le sens à donner à l'hypothèse faite sur le premier groupe fondamental de la variété que l'on suppose non élémentaire. A partir ce cette hypothèse, D. Sullivan a obtenu un résultat important pour les variétés hyperboliques, à savoir qu'il existe une alternative pour le comportement du flot géodésique : soit il est totalement dissipatif, c'est-à-dire que l'espace des phases est constitué d'une partition dénombrable d'ensembles errants, soit il est totalement conservatif (il n'y a pas d'ensembles errants non triviaux) et ergodique. Ce résultat a été obtenu originellement pour la mesure de Liouville (et pour cette mesure et les surfaces de Riemann, cette dichotomie avait semble-t-il déjà été observée par Poincaré), puis pour une classe de mesures qui joue un rôle central dans l'étude dynamique du flot géodésique : la classe de Patterson-Sullivan, qui "ne voit pas" les bouts de la variété produisant trivialement un ensemble errant pour le flot. Divers auteurs ont ensuite étendu cette dichotomie à divers contextes géométriques, dont la particularité commune est d'être CAT(-1). Nous montrons, dans un travail commun avec G. Link, que cette alternative subsiste dans le cadre plus vaste des variétés de rang un. Cette notion de rang un doit s'entendre a priori au sens (faible) où il existe un élément du groupe fondamental qui agit par translation sur une géodésique du revêtement universel ne bordant pas de demi-plan plat. Toutefois, l'argument de Hopf qui conduit à l'ergodicité requiert (semble-t-il) l'hypothèse plus forte du rang un au sens géométrique, selon la définition classique. La définition au sens faible peut être vue comme une ligne de démarcation géométrique naturelle entre les variétés de rang un et les espaces localement symétriques de rang supérieur. Le premier exposé sera consacré à l'énoncé du résultat et à la présentation d'exemples. Nous garderons en mémoire le résultat pour présenter dans le second exposé les ingrédients géométriques de la démonstration.

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