Séminaire de Géométrie
Courbure extrinsèque des hypersurfaces CMC dans l’espace Anti-de SitterEnrico Trebeschi (Université de Nice)
Friday 23 May 2025 13:30 - Tours - 1180 (Bât. E2)
Résumé :
L’espace Anti-de Sitter est une variété Lorentzienne à courbure sectionelle negative constante: c’est la généralization de l’espace hyperbolique dans le cadre Lorentzien. Une hypersurface est de type espace si la métrique induite est Riemannienne, et elle est à courbure moyenne constante (CMC) si la trace de son operateur de forme est constante.
Les hypersurfaces CMC de type espace ont été largement étudiée dans le cadre Lorentzien pour leur liens avec la physique et pour des raisons analytiques: en fait, elles sont des données de Cauchy privilégiées pour résoudre les équations d’Einstein.
Depuis quelque temps, leur intérêt s’est d´eveloppé également dans le cadre de la topologie géométrique, pour étudier l’action des représentations Anosov dans le groupe de Lie $O(n, 2)$, notamment le groupe d’isométries de l’espace Anti-de Sitter.
Pour ces raisons, les hypersurfaces CMC ont été étudiées d’un point de vue qualitatif par nombreus auteurs. La relation entre la géométrie des surfaces à courbure moyenne nulle constante — appelées surfaces maximales— dans $H^{2,1}$ et leur enveloppe convexe a été mise en lumière par les travaux de [BS10], puis quantifiée dans [Sep19].
Dans cet exposé, j’expliquerai comment j’ai généralisé les résultats de [Sep19] en dimension supérieure, en comparant la géométrie extrinsèque des hypersurfaces maximales avec la largeur — c’est-à-dire le diamètre chronologique — de leur enveloppe convexe.
En plus, j’ai généralisé la notion d’enveloppe convexe afin de l’adapter à l’étude des hypersurfaces à courbure moyenne constante non nulle. Dans ce cadre, je démontre que la largeur de l’enveloppe convexe H-déplacée contrôle la géométrie de l’hypersurface CMC correspondante, et réciproquement.
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