Nous considérons un système dynamique stochastique sur l'espace euclidien, où un point évolue par applications successives de transformations aléatoires. À partir d'un point initial x, nous définissons le processus en appliquant de manière répétée des fonctions aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de sorte que chaque étape ne dépende que de la position précédente.

Une question centrale est de savoir si de petits changements dans le point de départ affectent le comportement à long terme. En particulier, nous nous demandons si la distance entre deux trajectoires—partant de points distincts—tend vers zéro lorsque le temps évolue.

Nous nous concentrons sur des systèmes qui ne sont pas globalement stables mais présentent une « stabilité locale » : les trajectoires deviennent proches les unes des autres lorsque nous observons le processus à travers une fenêtre bornée. Bien que ce comportement ait été observé dans des systèmes unidimensionnels sous certaines conditions critiques—ni strictement contractants ni dilatants—il est beaucoup moins bien compris en dimension supérieure.

Dans cet exposé, nous présentons des résultats récents sur la stabilité locale pour les récurrences affines aléatoires multidimensionnelles. Celles-ci sont définies en appliquant à chaque étape une transformation linéaire aléatoire suivie d'un décalage aléatoire. Ce processus a été largement étudié pour ses nombreuses applications et pour son intérêt dans l'étude des probabilités sur les structures algébriques. En fait, ses propriétés sont étroitement liées au comportement du produit de matrices aléatoires. Nous nous concentrons sur le régime critique, où le taux moyen d'expansion ou de contraction (l'exposant de Lyapunov) est nul.