Un élément $A$ de $PSL_2(\mathbb{Z})$ est hyperbolique si $|Tr(A)|>2$. Dans ce cas, le sous-groupe virtuellement abélien maximal qui contient $A$ est soit cyclique infini, soit diédral infini. On dit que $A$ est réciproque si on est dans le second cas; $A$ est alors conjugué à son inverse. Nous donnons une caractérisation des éléments hyperboliques réciproques de $PSL_2(\mathbb{Z})$ en termes des fractions continues de leurs points fixes sur $P^1(\mathbb{R})$ - ceux-ci étant des irrationnels quadratiques. Nous revisitons ainsi un résultat de P. Sarnak (2007), lui-même ancré dans des travaux classiques de Gauss et Fricke-Klein au 19ème siècle. C'est un travail en commun avec C-L. Simon (Rennes).