Programme :
Mercredi 13 novembre (salle de séminaire) :
- 10h30-12h00 : Michel Zinsmeister I
- Déjeuner à l’Agora
- 14h00-15h30 : Anna Miram Benini I
- 16h00-17h00 : Sébastien Biebler
Jeudi 14 novembre (salle de séminaire le matin, Pticrem l’après midi) :
- 9h00-10h30 : Michel Zinsmeister II
- 11h00-12h30 : François Berteloot I
- Déjeuner à l’Agora
- 14h00-15h30 : Anna Miram Benini II
- 16h00-17h00 : Lucas Kaufmann
Vendredi 15 novembre (salle de séminaire) :
- 9h00-10h30 : François Berteloot II
- 11h00-12h30 : Van Tu Le
- Déjeuner à l’Agora
Titres et résumés
- Anna Miriam Benini : Escaping points in transcendental dynamics
One-dimensional transcendental dynamics studies the iteration of transcendental entire maps, that is, maps from the complex plane into itself with an essential singularity at infinity. There are three well studied subsets of the plane which are completely invariant under the dynamics: the Julia set, on which the dynamics is chaotic, the Fatou set, on which the dynamics is stable, and the set of escaping points, that is, the points whose orbits converge to infinity. The set of escaping points turns out to be always non-empty, as shown by Eremenko in 1989, and its boundary always coincides with the Julia set. Even more interestingly, under appropriate function theoretical assumptions the escaping set is organized into curves (called dynamic rays, or hairs) which have a combinatorial structure. In this course we will explore the origin and structure of dynamic rays and see what happens when the function theoretical assumptions fail. We will also explain how to generalize Eremenko’s construction of escaping points to a class of automorphisms of $\C^2$ called transcendental Henon maps, and present some conjecture on the structure of the escaping set for such maps. - François Berteloot : The Mandelbrot set is the shadow of a Julia set
After discussing generalities about bifurcations in holomorphic dynamics, I will present a recent joint work with T-C Dinh in which we consider the polynomial quadratic family and introduce a new point of view on bifurcations. This new approach naturally allows to see the seat of bifurcations as the projection of a Julia set of a complex dynamical system in dimension three. - Sébastien Biebler : Automorphismes polynomiaux de C^{2} avec composante de Fatou errante et grande émergence
Ce travail est en collaboration avec Pierre Berger.
Nous montrons qu’il existe un ensemble localement dense d’automorphismes polynomiaux réels de C^{2} ayant une composante de Fatou errante. La preuve est fondée sur un modèle géométrique qui nous permet de prouver l’existence d’un domaine errant pour un sous-ensemble dense de paramètres dans un ouvert dense de familles de C^{r}-difféomorphismes dans le domaine de Newhouse. Nous étudions aussi le comportement statistique des orbites dans ce domaine errant et nous donnons une solution au dernier problème de Takens dans le cas C^{\infty}, ce qui permet de compléter les travaux de Kiriki et Soma. Finalement, je présenterai le concept d’émergence dû à Berger et je montrerai que l’émergence est stretched-exponential dans notre cas. - Lucas Kaufmann : Dynamique de correspondances et produit de matrices aléatoires
Soit f une correspondance holomorphe dans une surface de Riemann X, c’est à dire, f est une application holomorphe multivaluée de X vers X. Notons d (resp. d’) le nombre de pré-images (resp. images) d’un point de X, comptées avec multiplicité. Lorsque d et d’ sont différents, la dynamique globale de f est bien comprise. En particulier il existe une mesure de probabilité invariante canonique qui décrit le système. Dans cet exposé je présenterai des résultats concernant le cas où d=d’. Sur certaines conditions (nécessaires) sur f on obtient deux mesures canoniques avec des bonnes propriétés. Comme application, nous pouvons étudier le problème classique de produit de matrices aléatoires dans SL_2(C) avec des outils de la dynamique holomorphe. Cela donne des preuves simplifiées de résultats connus (Furstenberg, Guivarch, Le Page, Benoist-Quint, etc) ainsi que quelques résultats nouveaux, notamment un théorème de trou spectral avec des conditions de moment minimales.
Il s’agit d’un travail en commun avec T.-C. Dinh et H. Wu. - Van Tu Le : Fixed points of post-critically algebraic endomorphisms
An endomorphism of $CP^n$ is post-critically algebraic if its critical hypersurfaces are periodic or preperiodic. This notion generalizes the notion of post-critically finite rational maps in dimension one. We will study the eigenvalues of the derivative of such a map at its fixed points. When $n=1$, a well-known fact is that the eigenvalue at a fixed point is either superattracting or repelling. We prove that when $n=2$, we prove that the eigenvalues are still either superattracting or repelling. This is an improvement of a result by Mattias Jonsson. When $n\geq 2$ and the fixed point is outside the post-critical set, we prove that the eigenvalues are repelling. Such a result was already obtained by Fornaess and Sibony under a hyperbolicity assumption on the complement of the post-critical set. - Michel Zinsmeister : La propriété de Ruelle
Dans un article célèbre de 1982, Ruelle a montré que si f0 est dans Rat_d, l’ensemble des fractions rationnelles de degré d, est hyperbolique, alors f -> HD( J(f)) est une fonction réelle-analytique sur un voisinage de f0 dans Ratd, où J(f) est l’ensemble de Julia de f et HD désigne la dimension de Hausdorff, résolvant ainsi une conjecture de Sullivan.
Dans une première partie je donnerai les grandes lignes de la démonstration de ce théorème, avant de le généraliser à quelques situations non-hyperboliques impliquant par exemple des cycles paraboliques persistants.
Ruelle a lui-même généralisé son théorème au cas des perturbations de groupes Fuchsiens co-compacts : dans une deuxième partie j’examinerai dans quelle mesure on peut s’abstraire de l’hypothèse de co-compacité sans perdre la validité de la propriété de Ruelle.