CORTIPOM

Page du projet ANR PRC CORTIPOM

Ce projet à l’interface de l’algèbre, la combinatoire, les probabilités et la physique théorique regroupe une douzaine de chercheurs répartis sur sept sites. Il s’articule autour de deux partenaires principaux : le premier est l’Institut Denis Poisson (Tours) et le deuxième est le Laboratoire de Probabilités, Statistiques & Modélisation (Paris). La durée prévue pour le projet est de quatre années (février 2022-Janvier 2026).

Théorie des représentations combinatoire et interactions avec des modèles probabilistes

Combinatorial representation theory and interactions with probabilistic models

Résumé du projet :

Ce projet vise à approfondir et à développer l’étude des objets combinatoires apparaissant en théorie des représentations des groupes de Coxeter et des algèbres de Lie ainsi que de leurs généralisations (groupes de réflexions complexes, algèbres de Kac-Moody) et, conjointement, à les utiliser pour comprendre le comportement de modèles probabilistes discrets, eux-mêmes souvent liés à des problèmes de physique théorique.
Il existe en effet de nombreuses interactions de ce type basées sur la combinatoire des partitions (marches conditionnées, problèmes de percolation, TASEP, battage de cartes, phénomènes de « cut-off » etc.) qu’il s’agit ici d’étendre par l’utilisation de techniques ou d’objets apparus plus récemment en théorie des représentations (graphes cristallins, fonctions de Schur décalées, polynômes de Hall-Littlewood et Macdonald, ensembles basiques, généralisations de l’algorithme RSK etc.).

Abstract :

This project aims to study and further develop combinatorial objects appearing in the representation theory of Coxeter groups, Lie algebras or their generalizations (complex reflections groups, Kac-Moody algebras), and simultaneously, to use them for investigating discrete probabilistic models and their connections with problems in mathematical physics. There are numerous interactions between models of these types based on the combinatorics of partitions (conditioning random walks, percolation problems, Tasep, card shuffling, cut-off phenomenon). The aim this project is to develop these interactions by using new results and objects that were introduced recently in representation theory (crystal graphs, shifted Schur functions, Hall-Littlewood and Macdonald polynomials, basic sets, generalizations of the RSK-procedure etc.). One of the original features of this project is to propose a unified approach to these different themes.

Membres du projet CORTIPOM

Le porteur du projet et responsable du pôle Tourangeau est Cédric Lecouvey. Le responsable du pôle Parisien est Pierre Tarrago.

Manifestations liées au projet

  • Du 6 au 7 janvier 2022, réunion de pré-démarrage du projet à Tours

Exposés:

Guillaume Barranquand : « Correspondance RSK, fonctions de Schur, et percolation de dernier passage ». Résumé : La correspondance de Robinson-Schensted-Knuth (RSK) est une bijection entre matrices d’entiers et paires de tableaux de Young. Les fonctions de Schur sont des polynômes symétriques en plusieurs variables, qui forment une base orthonormale, et possèdent de nombreuses propriétés remarquables. L’une de ces propriétés est la formule sommatoire de Cauchy, qui peut être comprise comme une manière de calculer de deux façons différentes la fonction génératrice associée aux matrices d’entiers, en utilisant la correspondance RSK. Le but de l’exposé est d’expliquer une conséquence probabiliste importante de ces propriétés combinatoires, en particulier leur application au modèle de percolation de dernier passage (d’après Johansson, 2000). J’essaierai aussi d’expliquer pourquoi ce modèle est important et de faire un bref survol des directions dans lesquelles ces résultats peuvent être généralisés.

Olivier Brunat : « Ensembles basiques et unitriangularité ». Résumé : Dans cet exposé, j’introduirai la notion d’ensemble basique unitriangulaire et essayerai de motiver leur utilité en théorie des représentations modulaires des groupes finis.

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Thomas Gerber : « Correspondance RSK et cristaux ». Résumé : La correspondance de Robinson-Schensted-Knuth (RSK) est une bijection combinatoire qui apparaît naturellement dans des contextes divers : en théorie des représentations, des fonctions symétriques, en géométrie, ou encore dans l’étude de certaines marches aléatoires. En particulier, elle possède une interprétation élégante en termes de cristaux (au sens de Kashiwara/Lusztig). De plus, cette construction possède une remarquable propriété de symétrie. Ce phénomène met en jeu une certaine dualité, particulièrement simple à définir, et qui entremêle plusieurs constructions combinatoires classiques reliées aux cristaux.

Nicolas Jacon : « Représentations modulaires du groupe symétrique ». Résumé : Cet exposé introductif reprend les notions centrales de théorie des représentations du groupe symétrique en caractéristique 0 puis en caractéristique p, les notions de matrices de décomposition, de blocs, et d’involution de Mullineux.

Pierre Tarrago : « Aspects probabilistes de la cohomologie quantique des Grassmanniennes ». Résumé : La cohomologie quantique des Grassmanniennes est l’exemple le plus simple d’algèbre finie engendrée par un graphe de type Cayley d’un groupe de Weyl. Dans cet exposé, j’introduirai toutes ces notions et expliquerai comment l’étude de cette cohomologie quantique permet d’obtenir un théorème central limite pour plusieurs systèmes probabilistes de grande taille.

Du 31 mai au 2 juin 2022

Valentin Féray : fonctions de Schur décalées

http://vferay.perso.math.cnrs.fr/Slides/2206_Feray_ShiftedSchur_Cortipom.pdf

David Garcia Zeleda : Spectral radius of non-Hermitian random matrices

Guillaume Barranquand :

Cédric Lecouvey : Graphes positivement multiplicatifs

Publication liées au projet

  • À venir…