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Professeur en mathématiques
Institut Denis Poisson CNRS UMR 7013
Département de mathématiques de l’Université de Tours
Équipe de recherche : SPACE

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37200 Tours, France

 

Thèmes de recherche

  • Marches aléatoires et produits de transformations aléatoires

    Une question importante dans l’étude des marches aléatoires sur un groupe est celle de ses propriétés de récurrence/transience ; une façon d’y répondre est de décrire le comportement asymptotique de la probabilité de retour de cette marche aléatoire dans les compacts du groupe sur lequel elle vit. Avec E. Lepage, je me suis intéressé au cas de certains groupes résolubles, en particulier le groupe affine de la droite réelle et ses extensions naturelles.
    La question de la récurrence/transience se pose aussi dans le contexte plus général des chaînes de Markov sur Rd, dont les transitions sont controlées par des transformations lipschitziennes. Dans la lignée des travaux de M. Babillot, Ph. Bougerol et L. Elie d’une part et de ceux de M. Benda d’autre part, nous énonçons des critères de récurrence positive/nulle pour ces processus et étudions certains exemples explicites où la dynamique du semi-groupe de transformations lipschitzsiennes mis en jeu intervient de façon essentielle.
    Nous travaillons aussi sur des problémes liés au piégeage dans un cône d’une marche aléatoire sur Rd, question ouverte depuis plusieurs décennies et étudiée de façon approfondie par N. Varopoulos et M. Shimura. R. Garbit, qui a soutenu sa thèse en octobre 2008 (codirection avec Emmanuel Lesigne, Université de Tours), se concentre sur ce thème : dans la lignée des travaux de M. Shimura, il a étudié la diffusion brownienne sur Rd conditionnée à rester dans un cêne puis établi un principe d’invariance « à la Donsker » pour une marche aléatoire sur le plan euclidien conditionnée à rester dans un cône.
    Dans une thématique proche, Y. Ye a soutenu sa thèse en juin 2011 (codirection avec Emile Lepage, Université de Bretagne Sud); elle s’est intéressée aux fluctuations des marches aléatoires unidimensionnelles à pas markoviens, a obtenu un théorème de type  »limite local » et l’a appliqué pour obtenir des estimations de la probabilité de survie d’un processus de branchement en environnement aléatoire markovien.
    Les travaux récents de D. Denisov et V. Wachtel donnent un nouvel intérêt à ces questions. Avec E. Lesigne et C. Lecouvey, nous avons exploré le lien entre ces marches aléatoires piégées et la théorie des représentations; l’approche de Ph. Biane, Ph. Bougerol et N. O Connel a pu être étendue à une vaste classe de marches aléatoires piégées dans des chambres de Weyl relatives à certaines algèbres de Lie simple ou semi-simples et super-algèbres de Lie, avec comme conséquences des retombées dans les deux champs disciplinaires (probabilités et théorie des représentations).

  • Croissance des variétés d’Hadamard à courbure strictement négative et comportement des fonctions orbitales de leurs groupes discrets d’isométries

    Soit X une variété d’Hadamard à courbure strictement négative. Nous nous intéressons aux liens existant entre les quantités suivantes : l’entropie volumique de X, l’exposant de Poincaré des réseaux de X, l’entropie topologique du flot géodésique agissant sur le fibré unitaire tangent des variétés quotient de X, tout particulièrement lorsque son ensemble non errant est non compact.

  • Aspects stochastique du flot géodésique en courbure strictement négative

    La présence d’éléments paraboliques dans des groupes non élémentaires d’isométries de X entraîne celle de pointes dans les variétés quotients correspondantes. L’ensemble non errant du flot géodésique sur le fibré unitaire de ces variétés n’est plus compact, et les géodésiques peuvent faire des excursions arbitrairement grandes dans les bouts cuspidaux de la variété.
    Un moyen de prendre en compte l’amplitude de ces excursions est de de compter les géodésiques fermées dans une classe d’homologie ou de s’intéresser à certaines fonctionnelles d’enroulement du flot géodésique autour des pointes de la variété.
    La recherche et la construction d’une mesure d’équilibre pour le flot géodésique agissant sur le fibré unitaire tangent de ces variétés, ainsi que l’examen de ses propriétés lorsqu’elle existe, est un aspect important de cette étude ; cela va de l’établissement d’un principe variationnel à la construction d’exemples explicites dans des situations exotiques.
    Le passage à la courbure négative ou nulle présente de sérieuses difficultés et offre un exemple géométrique naturel de systéme dynamique non uniformément hyperbolique. De nombreuses questions restent ouvertes dans ce cadre, le cas des surfaces de type fini réservant déjà de nombreuses surprises.
    X. Thirion, qui a soutenu sa thése à Tours en juin 2007, a étudié le comportement asymptotique de la fonction orbitale de sous-groupes discrets de SL(d,R), en reliant cette question à celle des propriétés de mélange du flot des chambres de Weyl. Il a aussi introduit et étudié une large classe de sous-groupes discrets de SL(d, R), obtenus à l’aide du lemme de ping pong de Klein et contenant des facteurs unipotents ; ces exemples apparaissent comme une généralisation naturelle des groupes kleiniens géométriquement finis.  En 2016, V. Vidotto a soutenu son doctorat à l’université de Nantes (co-direction  avec S. Tapie) qui portait sur le comportement de la fonction orbitale de groupes géométriquement finis divergents mais qui ne satisfont pas la propriété de trou critique.

     

Liste des Publications

  • M. Peigné Iterated function systems and spectral decomposition of the associated Markov operator Prépublication Rennes 1. (pdf en anglais)
  • M. Peigné Marches de Markov sur le semi-groupe des contractions de Rd . Cas de la marche aléatoire à pas markoviens sur Rd avec chocs élastiques sur les axes. Ann. Inst. Henri Poincaré, Vol. 28, n. 1, (1992), (pdf en français)
  • E. Lepage & M. Peigné A local limit theorem on the semi-direct product of R*+ and Rd . Ann. Inst. Henri Poincaré, Vol. 33, n. 2, (1997), (pdf en anglais)
  • E. Lepage & M. Peigné Local limit theorems on some non unimodular groups. Revista Matematica Iberoamericana, vol. 15, n. 1 (1999), (pdf en anglais)
  • F. Dal’bo & M. Peigné Groupes du Ping-Pong et géodésiques fermées en courbure -1. Ann. Inst. Fourier, t. 46, (1996) Fasc. 3. (pdf en français)
  • A. Broise, F. Dal’bo & M. Peigné Comportement asymptotique du nombre de géodésiques fermées sur la surface modulaire en courbure non constante. Astérisque n. 238.
  • F. Dal’bo & M. Peigné Some negatively curved manifolds with cusps, mixing and counting J. Reine Angew. Math. 497 (1998) (pdf en anglais)
  • F. Dal’bo, J.P. Otal & M. Peigné Série de Poincaré des groupes géométriquement finis Israel Journal of math. 118 (2000) (pdf en français)
  • M. Babillot & M. Peigné Homologie des géodésiques fermées sur des variétés hyperboliques avec bouts cuspidaux, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 33 (2000), no. 1, 81–120, (pdf en français)
  • M. Peigné On the Patterson-Sullivan measure of some discrete groups of isometries, Israel Journal of math. 133 (2002), (pdf en anglais)
  • J. P Otal & M. Peigné Principe variationnel et groupes kleiniens Duke Math. Journal vol. 125 n. 1 (2004), (pdf en français)
  • J.D. Fouks, E. Lesigne & M. Peigné Étude asymptotique d’une marche aléatoire centrifuge Annales de l’IHP, vol. 42, issue 2 (2006), (pdf en français)
  • M. Babillot & M. Peigné Asymptotic laws for Geodesic homology on Hyperbolic manifolds with Cusps, Bull. Soc. Math. France 134 (2006), no. 1, 119–163. (pdf en anglais)
  • G. Link, J.C. Picaud & M. Peigné Sur les surfaces non-compactes de rang un , L’enseignement Mathématique (2) 52 (2006), no. 1-2, (pdf en français)
  • F. Dal’bo, M. Peigné J.C. Picaud & A. Sambusetti On the growth of nonuniform lattices in pinched negatively curved manifolds J. Reine Angew. Math 627 (2009), 31-52. (pdf en anglais)
  • F. Dal’bo, M. Peigné J.C. Picaud & A. Sambusetti On the growth tightness of some discrete groups of isometries of negatively curved manifolds, Ergodic Theory and Dynamical Systems 31 (2011), no. 3. (pdf en anglais)
  • M. Peigné On some exotic Schottky groups, Discrete and Continuous Dynamical Systems 31 (2011), no. 2. (pdf en anglais)
  • M. Peigné & W. Woess Stochastic dynamical systems with weak contractivity properties I. Strong and local contractivity, Colloquium Mathematicum 125 (2011), no. 1. (pdf en anglais)
  • M. Peigné & W. Woess Stochastic dynamical systems with weak contractivity properties II. Iteration of Lipschitz mappings, to appear in Colloquium Mathematicum 125 (2011), no. 2. (pdf en anglais)
  • C. Lecouvey, E. Lesigne & M. Peigné, Random walks in Weyl chambers and crystals, Proceeding of the London Mathematical Society (3), 104 (2012), no. 2. (pdf en anglais)
  • F. Dal’bo, M. Peigné & A. Sambusetti On the horoboundary and the geometry of rays of negatively curved manifolds, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 259 (2012), no.1 (pdf en anglais)
  • C. Lecouvey, E. Lesigne & M. Peigné Conditioned random walk in Weyl chambers and renewal theory, Random matrices and iterated random functions, Münster, October 2011, G. Alsmeyer and M. Löwe, editors, Springer Proceedings in Mathematics and statistics, vol. 53 (2013) (pdf en anglais)
  • M. Peigné & R. Essifi Return Probabilities for the Reflected Random Walk on N, Journal of Theoretical Probability (2015), no. 28, p.231-258, (pdf en anglais)
    ERRATUM (pdf en anglais)
  • M. Peigné, K. Raschel & R. Essifi Some aspects of fluctuations of random walks on R and applications to random walks an R+ with non elastic reflection at 0, Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics, Volume X, no. 2, (2013), p. 591-607 (pdf en anglais)
  • M. Peigné Autour de l’exposant de Poincaré d’un groupe kleinien, Monographie de L’Enseignement mathématique 43, (2013) (pdf en français)
  • C. Lecouvey, E. Lesigne & M. Peigné Conditioned one-way simple random walk and combinatorial representation theory, Séminaire Lotharingien de Combinatoire, (2014) (pdf en anglais)
  • I. Grama, E. Lepage & M. Peigné On the rate of convergence in the weak invariance principle for dependent random variables with applications to Markov chains , Colloquium Mathematicum, (2014) (pdf en anglais)
  • C. Lecouvey, E. Lesigne & M. Peigné Conditioned random walks from Kac-Moody root systems, Transaction AMS, (2014) (pdf en anglais)
  • F. Dal’bo, M. Peigné, J.C. Picaud & A. Sambusetti Convergence and counting in infinite measure , Annales de l’Institut Fourier (2016) (pdf en anglais)
  • I. Grama & E. Lepage & M. Peigné Conditional Limit theorems for products of random matrices , Probability Theory and Related Fields (2016) (pdf en anglais)
  • C. Lecouvey & E. Lesigne & M. Peigné Harmonic functions on multiplicative graphs and inverse Pitman transform on infinite graphs, Annales de la Faculté des sciences de Toulouse Série 6, Tome 27 no. 3 (2018)   (pdf en anglais)
  • E. Lepage & M. Peigné & T. D. C. Pham The survival probability of a critical multi-type branching process in i.i.d. random environment, Annals of Probability, 46, vol. 5 (2018) (pdf en anglais)
  • F. Ladjimi  & M. Peigné Iterated function systems with place dependent probabilities and application to the Diaconis-Freedman’s chain on [0,1] Statistic and Probability Letters Volume 145 (2019)  (pdf en anglais)
  • F. Dal’bo, M. Peigné, J.C. Picaud & A. Sambusetti Asymptotic geometry of negatively curved manifolds,  Annales de l’ENS 52, vol. 6 (2019) (pdf en anglais)
  • M. Peigné  & A. Sambusetti Entropy Rigidity of negatively curved manifolds of finite volume, Mathematische Zeitschrift  olume 293, pages 609–627 (2019)  (pdf en anglais)
  • M. Peigné   Transition de phase de fonctions orbitales pour des groupes de Schottky en courbure négative,  Annales de la Faculté des sciences de Toulouse Série 6, Tome 28 (2019) no. 3,  (2019) (pdf en anglais)
  •  H. L. Ngo  & M. Peigné Limit theorem for perturbed   random walks, Theory Stoch. Process., (2019), Volume 24 (40), Issue 2, (pdf en anglais)
  •  M. Peigné, S. Tapie &   P. Vidotto    Orbital counting for some convergent groups,  Annales de l’Institut Fourier (2020) (pdf en anglais)
  • S. Brofferio, M. Peigné & C. Pham On the affine recursion R+d,    Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics, (2021), Volume XVIII, no. 1, 1007-1028 (pdf en anglais)
  • H. L. Ngo  & M. Peigné Limit theorem for reflected  random walks,  to appear in Chaire Jean Morlet Series, Springer  (pdf en anglais)
  • E. Le Page, M. Peigné & C. Pham Central limit theorem for a critical multi-type  branching process in random environment, to appear in Tunisian Journal of Mathematics  (pdf en anglais)
  • M. Peigné & W. Woess Recurrence of 2-dimensional queueing processes and random walk exit times from the quadrant, to appear in Annals of Applied Probability (pdf en anglais)

Travaux soumis ou déposés

  • Mesure de Hausdorff de l’ensemble limite de groupes kleiniens géométriquement finis, (pdf en français)
  • On  recurrence of reflected random walk on the half line, en collaboration avec W. Woess (2006) (pdf en anglais)
  • On the asymptotic behavior of the Diaconis and Freedman’s chain in a multidimensional simplex, en collaboration avec T.D. Tran  (pdf en anglais)

Enseignements

  • Stochastic dynamical systems in Ha Long Bay Notes de cours rédigé avec S. Brofferio; Ha Long Bay Vietnam, Juillet 2017 et Graz (Autriche), Octobre 2017 (pdf en anglais)
  • Stochastic dynamical systems, Exercices (pdf en anglais)
  • Introduction to branching processes in fixed and random environment (pdf en anglais) SEAMS School : Mathematical Modelling in Biology, Ha Noi mars 2017.
  • Marches aléatoires dans les cônes et théorèmes limite locaux: une approche trajectorielle (pdf en français) Notes d’exposé Hammamet, Décembre 2014. À paraître dans ESAIM
  • Autour de l’exposant critique d’un groupe kleinien (pdf en français). Notes d’exposé au GDR Platon, Amiens 2010
  • Marches aléatoires sur ℤd et propriétés de récurrence Cours et Exercices de Master 2, Université de Tunis El Manar 2010
  • Notes de Cours (pdf en français)
  • Enoncé d’exercices (pdf en français)
  • Corrigé des exercices (pdf en français)
  • Sur les propriétés de récurrence des marches aléatoires et autres processus (pdf en français) Cours donné à Ho Chi Minh Ville en Février 2008 et Tours en Mars 2009 et 2010
  • On some aspects of discrete groups of isometries of the hyperbolic plane (pdf en anglais) Cours donné à Graz en Novembre 2009